亚新体育上文我们聊了聊电阻与二极管的串并联《电子与数学1-电子中的串并联》，引出了反函数与一些基本数学运算，今天我们闲来无事，来说一说RC这个最基本的动态电路，在正式开始前，我们先聊一聊电容。

　　一说起电容，我就想起之前工作时候，遇到的一个CDE专门研究电解电容的老工程师，给我们讲变频器上直流母线电容池用的铝电解电容，讲了3个小时都没讲完，从等效电路到使用场景，从温升讲到寿命，侃侃而谈，结束后，他跟我们说，有一次去清华自动化系讲，那边的系主任开玩笑说，“X工呀，听你讲之前，我知道电容就是一个符号C，用来储存电荷，结果听你讲了大半天，反而糊涂了，电容到底是啥玩意？？”

　　其实，我觉得那个清华系主任理解的非常到位，电容就是用来储存电荷的，就好比一个大水池子，我们幻想，里面装的一个个水珠，就是一个个的电荷。

　　我一直觉得用电容类比水池最形象，水管就是导线，水流就是电流，通过水管给水池充水，就如同用导线给电容充电一个道理，如图2所示。

　　我们实际场合里，一般是用水泵给水池供水，同样用电压源给电容充电，这样上面的图就会变成图3的样子。

　　水池随着水量的累积，水面到池底会产生水压差，那同样电容随着电荷的累积，两侧极板也会产生电势差。那什么时候这个过程会停止呢？当水池的压差等于泵压，水池充水的水流就停了，同样当电容的电势差等于电源电压，那电容的充电也就结束了。

　　如果我们把电流记为I，电荷记为Q，那电容充电的过程就是电荷Q对电流I积分的过程,电流I是电容电荷Q的微分：

　　随着电容电荷Q的累积，会在电容两端产生电势差U，两者之间存在一个函数关系。

　　但要记住，电容毕竟不是一般的水池，随着两个极板电荷累积的越来越多，电容内部的极化越来越严重，好比一个人背得东西越重身体就越扭曲，身体承载能力也会不断减弱，同样随着电荷累积，电容能承受电压的趋势也在不断下降，如图4所示。跟上一节的电阻一样，我们可以用一根直线去拟合电容的U与Q的这个函数关系，拟合出来直线的斜率倒数就是电容值C。

　　还有一点，所有的电容都有一个最大耐受电压，也就是这个电势差不能无限增长下去，当电压大到某一刻的时候，你会听到“砰”地一声，青烟一缕，电容此刻命归西天电子电路。

　　我现在还记得，中学物理老师说的一句话，“如果一个理想电压源与一个理想电容并联，那充电电流会是无穷大，充电瞬间完成。”其实吧，我一直觉得无穷这个词是人的幻想，现实世界，怎么会有无穷大这玩意呢？！哪有什么理想电压源，也没有什么理想电容，因为我们活在现实世界，电源有内阻，导线有电阻，电容内部也有ESR（等效串联电阻），所以物理老师那句话只是帮助我们简化理解概念，而实际根本不存在。

　　如果考虑实际回路电阻的话，那电容充电的线所示，将整个线路所有电阻等效为一个电阻R，这就是经典的RC充电电路。

　　在实际测试之前，可以先开动大脑想一想。如果电阻为0的话，这不正是物理老师说的嘛，理想电压源与理想电容并联，充电电流无穷大，电容会瞬间充满电压。而随着电阻的加入，回路阻碍变大，整体充电电流会下降，充电速度变慢，电压上升的速度也会下降，而且电阻越大，这个充电速度会越慢。

　　如果电阻确定，那整个动态充电过程中，电压的变化趋势会是怎样呢？会不会按照一个固定的上升斜率充电到电源电压，不对不对，这不太可能，因为随着电容电压上升，电阻上的压降越来越小，也就意味着充电电流越来越小，所以整个充电过程中，充电的速度是越来越慢，电压上升的趋势也是一样，越来越慢。

　　设定：Us=1V，R=1k\Omega，C=1\mu F，电容电压Uc初始值为0，整个Uc电压的动态变化过程如图7所示。

　　再仔细观察一下，这个图跟我们中学学的什么函数比较像吗，肯定不是一次函数，也不像二次函数，因为最后无穷趋近于一个值，噢，想起来啦，是不是指数函数呀，对，就是这个，变化的越来越慢，指数函数不就是变化率越来越XX嘛，然后我们就拟合出这样一个式子：

　　下面我们对照着拟合公式来仔细观察一下这个波形，如图8所示，0.001对应指数衰减时间常数，也就是每隔1ms指数部分衰减为上1ms的1/e\approx0.35。

　　如果用数学方程去表达刚刚描述的RC充电这个动态过程，该怎么做呢？？首先根据基尔霍夫定理得到电源电压等于电阻上的电压加上电容电压，然后电阻上的电流等于电容的电流，电容上的电流等于电容电压的变化率与电容之积，将这几句话用数学表达一下就是下面的数学公式。

　　有没有发现呀？？？一阶微分方程出来了。关于微分方程的求解，高等数学里专门写了一章去求微分方程的解，总之噼里啪啦一大堆，最后做题的时候，一顿代公式，什么齐次非齐次通解之类的，甚是烦恼，这里有一个说明，就是电路求解与传统的微分方程求解略有不同，可以参考这篇文章：

　　RC一阶电路，我们如果想在计算机里仿真？？？该怎么玩呢，这就要用到上一节的微分方程数学模型了。

　　在高等数学里，利用极限逼近的方式来算出导数，当我们用计算机仿真的时候，是逆向把导数离散化，这样我们就可以把第一个式子离散化为下式

　　看到上面的式子了不，我们知道t时刻Uc和Us的值，就可以计算t+\Delta t时候的Uc值，然后可以不断迭代这个模型，推演计算后面的数值，这就是仿真的奇妙之处。

　　根据上面的差分方程，我们就可以用matlab写代码，仿真RC电路的动态过程，如图4所示。

　　整个计算机仿真动态系统都是基于差分方程来做的，用当前的状态和输入去推演下一时刻的状态。如果想仿真精确一点，把仿真步长dt减小一点，但是意味着仿真时间会加长，如果想仿真快点，那就将dt设置长一些，同时还有变步长的算法。

　　我们仔细观察图10，发现Uc的电压信号频率跟Us一样，幅值下降了好多，相位有一些偏移。我们换一个频率试试，给RC加一个500Hz的电压信号，如图11所示，与1kHz输入信号相比，幅值衰减慢了一些，相位还是有偏移。

　　如果想测试这个RC电路对不同频率，不同幅值的正弦信号的响应，还有方波，三角波，锯齿波，好多好多，总不能手动仿真成千上万地测试吧，有没有什么好的测试方法呢，有的同学可能会说微分方程求解，这个还不如仿真呢，仿真就点一下按键，微分方程那可是要徒手求解成千上万次，电子工程师那还不累死呀、亚新体育、、！

　　其实不管微分方程，还是差分方程，我们都是在时间轴上玩，加个电压Us，看电容怎么充电，或者在计算机里模拟时域仿真一下这个过程而已，都可以玩的不错，但是输入信号一多还是很麻烦。我们是不是可以换一个空间重新看待这个电路。

　　于是一个系统对于任何周期信号的响应，都可以分解为正弦信号响应的叠加。也就是说，不管你是什么鬼信号，只要是周期的，那我就可以快刀斩乱麻，用几个简单的正弦信号去模拟它，如图12所示。

　　有的同学会问，搞这个有毛用？？？？这里要说一下，你要知道，复杂的周期信号，每一个都不一样，除了凌乱还是凌乱，我们根本没办法找到通用的玩法，但是分解为正弦之后，都是一个模子在刻，只有三个量：频率，幅值和相位。

　　紧接着傅里叶老爷子，又针对正弦信号的系统响应提出了一套傅里叶变换，把时域的微分方程，变成了频率域的代数方程，于是，于是，我们不用解微分方程了。。。是不是很爽，但是，但是，有两个前提，一个是输入信号（Us信号）是周期信号，另一个是线性（叠加定理）时不变（卷积）系统。

　　针对一个正弦信号的响应，可以用傅里叶老爷子的方法，快速解决信号响应的问题。只需要在微分方程（初始状态为0）基础上，微分乘以jw，积分除以jw即可，由此可以得到RC电路的复数模型：

　　这就意味着，Uc相对Us，幅值衰减为原来的0.1573，相角滞后80.9度，正好与我们图10的仿真结果相同亚新体育。

　　复杂的周期信号-分解为简单正弦信号-正弦信号响应的叠加-复杂周期信号的响应

　　如果这个复数模型复杂了，乘除运算起来也挺麻烦，还可以用Bode图去分析，这个玩法更好，它能把算数的乘除变成图形里的加减操作，加减法，总不能也不会吧，哈哈哈！

　　其实电路板，我们绕来绕去，一直都在说RC，不管脑洞想象，示波器测试，微分方程，差分方程，还是复数模型，都是在不同的角度，去看同一个东西。